まず、きなこもちさんが解雇予告手当を裁判で請求する際に、
きなこもちさんが主張・立証しなければならないのは、
①雇用契約が成立したこと
②解雇の意思表示がされたことと、その時期
③きなこもちさんの１日あたりの平均賃金額
です。

①は契約書がないことから立証がやや難しくなりますが、
就労の事実と賃金支払の事実から立証が可能と思われます。
③は給与の振り込まれた通帳と、１ヶ月の労働日を確認できる証拠
（メール、LINE、日記等でも可）があれば、立証が可能と思われます。
問題は②です。

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まず、本件が解雇であったのか、退職強要による合意解約（きなこもちさんの同意が必要）なのかが問題となります。
解雇であれば解雇予告手当を請求できますが、合意解約ならば請求できません。
本件紛争に至る会社側の発言を明らかにする必要があります。
もっとも、内容証明郵便の記載から、きなこもちさんが同意していなかったことが推認される可能性はあります。

次に、解雇だとして、解雇の効力が発生した時期が争点となります。
退職証明書の交付を今から求めることが考えられますが、
会社が自分にとって都合のいい内容を記載するおそれがあります。
但し、会社の発言を記したメールやきなこもちさんの日記が残っていれば弱いながらも一応の証拠になりますし、
元同僚の方に証言してもらうという方法もありえます。

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また、本件解雇が不当解雇であるかという点につきまして、
正当事由（客観的合理性と社会的相当性）のない解雇は、解雇権濫用として無効となります。
事情をお読みした限りですと、会社の本件解雇理由は「仕事がないから」であり、客観的合理性はないように思われます。
したがって、本件解雇は無効と考えられます。

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なお、訴訟により解雇予告手当の支払を請求する場合、それと同額の付加金（労基法１１４条）請求ができます。

新車は不特定物に当たるので、債務不履行責任を追及することになります。
（不特定物の場合、瑕疵の存在を認識した上で履行として認容する等した場合に瑕疵担保責任の追及が可能ですが、
現行の売買契約における瑕疵担保責任では代物給付は認められていないため、
瑕疵担保責任を追及しても、別の新車への交換を請求することはできません。）

１について
本件では、お読みした限りの事情からは、欠陥のある新車が引き渡されています。
つまり、不完全履行という債務不履行の状態にあります。
したがって、買主には、完全な履行（別の欠陥のない新車の交付）を求める権利があります。

２について
債務不履行が存在する場合、相手方に帰責事由があれば、契約を解除することができます。
契約を解除すれば、買主が支払った代金は、不当利得として返還の対象となります。
今までお読みした限りの事情からは、相手方に帰責事由があるように思われますので、契約を解除し、返金を求めることができるといえるでしょう。