①このような場合、慰謝料請求は可能でしょうか？相手方が不貞を行ったのであれば、慰謝料請求は可能です。「妻の名前と連名で不倫相手の名前を記入させ、不貞を認める念書を書いてもらいました。」とのことですが、文脈からすると、おそらく、この念書は妻のみが記入したものであって、不貞相手が自分の不貞を認めた自白の文書ではないと思われます（ご質問文の読み方が間違っていたらすみません）。ですが、妻自身は不貞相手との不貞を認めて不貞相手の名を記載しているので、十分証拠価値がある文書だと思われます。あとは、妻の携帯電話に保存されているラインのやり取りなどから補強していけば証拠としては十分ではないかと思います。②慰謝料請求できる場合、どのような手段がありますか？携帯電話の番号と氏名がわかっているとのことですので、弁護士に依頼の上、弁護士会照会という方法で不貞相手の住所を特定し、内容証明郵便を送るのが一般的かと思います。もちろんご自身でも請求自体はできますが、やはり弁護士から文書を送るほうが効果的かと思います。支払ってこない場合には、民事訴訟（裁判）を起こすことになります。

何らかの事件（例：損害賠償請求など）について弁護士に依頼をすることが前提ですが、依頼を受けた弁護士から携帯電話会社に対し、弁護士会照会を行ってもらえれば、その電話番号の契約者の氏名・住所等にについて回答を受けることが出来ると思われます。