両親の連絡先を答える義務はありません。ご安心ください。

修理費については，「故意又は過失で」部屋を毀損してしまった場合は，賃借人の負担になります。東日本大震災で倒れた冷蔵庫が倒れた，というのですから一般的には「過失なし」と考えてよいと思われます（もともと冷蔵庫が倒れやすい状態にあったのであれば話は変わるかもしれませんが・・・）。質問者様としては，「過失がないから壁の修理費用は負担する義務はない」と主張してよいと思います。相手方が勝手に敷金を引いてしまい，交渉にも応じない場合は，敷金返還を求めて法的措置（簡易裁判所に訴訟提起）をすることが考えられます。

土地の所有者は，直接に雨水を隣地に注ぐ構造の屋根その他の工作物を設けてはならないとされており（民法２１８条），雪の場合も同様とされています。その隣の家は上記の条文に違反している可能性があります。そして，所有者には妨害予防請求権がありますので，相手の費用で，上記の状態が生じないよう措置を講じてもらえる権利があります。雪のせいであなたの土地の物が壊れたりするなど損害が生じる場合は損害賠償請求もできます。さて，その上で今後どうすべきかですが，一番穏当な方法としては上記のことを相手に伝え，改めてどうするか検討してもらうことでしょう。それでもだめな場合，訴訟も考えられないではないですが，隣人でありこれからもおつきあいはあるわけですから，穏当な方法としては簡易裁判所に民事調停を起こすことでしょう。１年のうち，どのくらいの頻度で雪が落ちてくるのかは分かりませんが，調停は話合いの場ですので，ある程度柔軟な解決ができると思われます。訴訟については，相手方に対する請求額，相手方が妨害予防をしない場合の執行方法など，一筋縄ではいかない問題があります。

「・・・公営住宅の規定の趣旨にかんがみれば、入居者が死亡した場合には、その相続人が公営住宅を使用する権利を当然に承継すると解される余地はないというべきである。」とした最高裁の判例があります。（最高裁平成2年10月18日判決）。お住まいの市の「市営住宅条例」があるはずですが、おそらく同居の家族などが使用を継続したい場合は、届け出をして、市長などが審査をして、改めて使用を認める，という形になっているはずです。条例に市営住宅の使用権が相続の対象となる、などと書いてあれば話は別ですが、私の知る限りそのようなことはありません（役所に確認してください）。一般には市営住宅の「承継」は相続ではありませんので「相続放棄の手続に影響はない」、と思われます。相続放棄の前に手続をしても差し支えないと思います。